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かけ算にはみんなが共有する正しい順序はない

Twitter上で、また、小学校の算数で、かけ算の「式をたてる」ときに、たとえば「『3×5』とするのは正しいが『5×3』とするのは正しくない」というような指導をしてよいか、という議論が見られる。交換法則が成り立つので結果の数値は等しいのだが、「式の意味」は違うという考えもあるのだ。Twitterの「#掛算」タグのついた発言を見る限りでは、順序を指定する指導はすべきでない、あるいは、そういう指導をしてもよいが順序を逆に答えてもまちがいとすべきでない、という意見が多数をしめている。しかしわたしの見る範囲の外には「正しい順序がある」という頑固な意見があるようだ。わたしもtwitter上でいくつか発言したが、その内容の再録を含めてここに展開しておく。

わたしは2010年11月30日に[3×5 = 5×3、しかしベクトルではB×A = -A×B。]という記事を書いた。そこでは交換法則の成り立たないベクトルの外積にふれたので、わたしの主張がわかりにくくなったかもしれない。わたしの意見は、小学校で扱う整数のかけ算はもちろん、有理数・実数・複素数の「×」については、順序を指定する指導はしないほうがよく、もし指定しても逆の答えをまちがいとすべきでない、というものである。ただし、かけ算とは別の問題として、(ひき算やわり算のようなものでなく、直観的には交換法則が成り立ちそうなもので)交換法則が成り立たない演算にも、初歩のうちからふれておいたほうがよいと思い、3次元空間の立体をいずれかの軸のまわりに回転する演算を例にあげたのだった。

算数という科目の教育は、たしかに数学の初歩と矛盾しては困るのだが、必ずしも数学の初歩だけではない。論理学の初歩でもあるし、いわば「量学」(別の機会に論じたいが簡単に言えば「単位のついた数値」を扱うこと)の初歩でもあると思う。また、いわゆる文章題は、自然言語(日本語)から数式への翻訳と考えることもでき、数式を含む広い意味での「国語」の能力の教育と見ることもできるだろう。

わたしは、個別の授業で「正しい順序」を指定することはあってもよいと思うがそれは授業用の約束であってかけ算自体の性質ではないことを明示するべきだと思う。 (類推例。「この雑誌に出す論文では参考文献は著者名の五十音順に一覧にしてください」はその雑誌の約束であって論文に参考文献をあげること自体の規則ではない。)

自然言語でも方言によって、見かけが同じ単語でも意味が違うことがある。専門ごとの用語体系の違いも方言の違いのようなものだ。「×」という単語の意味は専門間で厳密に同じではない。実用にさしつかえない程度に統一すればよい。算数教育はその「実用にさしつかえない程度の統一」をめざすものであるはずだ。かけ算で表現できるそれぞれの状況(たとえば「リンゴが5枚の皿に3個ずつのっている」)のもとで、各人が正しい順序があると思って式をたてることは、実用にさしつかえない。しかし、だれかが他人が違う順序で式をたててはいけないと言うことは、実用にさしつかえる。